Módulo 18R3. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales.- Unidad II: La derivada en la explicación de los fenómenos naturales y procesos sociales.- Actividad Integradora VI: Malthus.

¿Qué hacer?

1.     Introducción. Lee atentamente para conocer la relación de la aplicación del modelo de Thomas Malthus, economista inglés en 1798, y el uso de la antiderivada.

En esencia, la idea de este modelo matemático de Malthus es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población sin freno de un país crece en forma proporcional y constante P(t), de ese país en cualquier momento (t en años). En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, habrá más personas en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar:

Donde el símbolo ∝ (alfa) indica que ambas cantidades son proporcionales y k es esa constante de proporcionalidad. Este modelo no tiene en cuenta otros factores (por ejemplo, inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, pero predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación diferencial anterior aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos intervalos.

Como se mencionó una de las aplicaciones principales de la antiderivada es la solución de ecuaciones diferenciales, si nos planteamos la ecuación anterior P' (t) = kP (t) podemos ponerla en la forma de diferencial, teniendo la ecuación:

Para profundizar en el principio de población de Malthus puedes estudiar el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=2nWSW3SA-no

Ahora como la P es la variable dependiente podemos pensarla como solo y = P(t), de esta manera dP = dy y acomodando la ecuación anterior en términos de y nos resulta:

Una vez que tengas las respectivas antiderivadas en la identidad despeja la variable y para que sea una función en términos de t, debes recordar las propiedades de las funciones necesarias. Tu proceso debe conducir a esta ecuación que es el modelo de Malthus:

y=Ce^kt

2. Desarrollo. Con la aplicación de la antiderivada del modelo de Malthus, sigue el planteamiento y resuelve lo que se indica:

Suponiendo que la población inicial que se está considerando es de 180 individuos determina el valor de C. Si tenemos que k=0.5, y con la ecuación se estima el tamaño de la población dentro de 8 años. Bosqueja una gráfica a mano.

Para su presentación, expón todo el proceso en un archivo de procesador de textos e inserta la imagen de la gráfica.

T=0                k=0                 Población: P=180              Y=Ce^kt

P(t)=C*e^kt

Despejamos los valores:

180=C*e⁰

180=C*1

180=C

C=180                                               K=0.5                                    t=8 años.

Con esta fórmula P(t)=C*e^kt procedemos a graficar el crecimiento poblacional.

P(8)=180* e^(0.5)(8)

P(8)=180* e⁴

P(8)=180* (2.71828182846)⁴

P(8)=180*54.5981500332

P(8)= 9827.6670059

El resultado estimado de población a 8 años es de P(8)=9827.67

Conclusión:

P(t)=C*e^kt Mediante esta función podemos conocer el incremento de la población con respecto al tiempo, en este caso 8 años, pero este procedimiento es aplicable en un pronóstico o proyección de ventas y fabricación de productos.

  

Bibliografía:

JlLópez. (Noviembre 21, 2011). La ecuación diferencial de Malthus. Mayo 24, 2018, de S/N Sitio web: http://www.ugr.es/~jllopez/Clase19.pdf

Academatica. (Junio 07, 2012). Crecimiento Poblacional. (Aplicaciones Ecuaciones diferenciales de primer orden). Mayo 24, 2018, de Academatica Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=2nWSW3SA-no

Prepa en Línea. (2018). Contenido Extenso 2. Mayo 24, 2018, de Prepa en Línea Sitio web: http://148.247.220.227/mod/resource/view.php?id=25554