Módulo 18R3. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales.- Unidad II: La derivada en la explicación de los fenómenos naturales y procesos sociales.- Actividad Integradora VI: Malthus.

¿Qué hacer?

1.     Introducción. Lee atentamente para conocer la relación de la aplicación del modelo de Thomas Malthus, economista inglés en 1798, y el uso de la antiderivada.

En esencia, la idea de este modelo matemático de Malthus es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población sin freno de un país crece en forma proporcional y constante P(t), de ese país en cualquier momento (t en años). En otras palabras, mientras más personas haya en el momento t, habrá más personas en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar:

Donde el símbolo ∝ (alfa) indica que ambas cantidades son proporcionales y k es esa constante de proporcionalidad. Este modelo no tiene en cuenta otros factores (por ejemplo, inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, pero predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación diferencial anterior aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos intervalos.

Como se mencionó una de las aplicaciones principales de la antiderivada es la solución de ecuaciones diferenciales, si nos planteamos la ecuación anterior P' (t) = kP (t) podemos ponerla en la forma de diferencial, teniendo la ecuación:

Para profundizar en el principio de población de Malthus puedes estudiar el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=2nWSW3SA-no

Ahora como la P es la variable dependiente podemos pensarla como solo y = P(t), de esta manera dP = dy y acomodando la ecuación anterior en términos de y nos resulta:

Una vez que tengas las respectivas antiderivadas en la identidad despeja la variable y para que sea una función en términos de t, debes recordar las propiedades de las funciones necesarias. Tu proceso debe conducir a esta ecuación que es el modelo de Malthus:

y=Ce^kt

2. Desarrollo. Con la aplicación de la antiderivada del modelo de Malthus, sigue el planteamiento y resuelve lo que se indica:

Suponiendo que la población inicial que se está considerando es de 180 individuos determina el valor de C. Si tenemos que k=0.5, y con la ecuación se estima el tamaño de la población dentro de 8 años. Bosqueja una gráfica a mano.

Para su presentación, expón todo el proceso en un archivo de procesador de textos e inserta la imagen de la gráfica.

T=0                k=0                 Población: P=180              Y=Ce^kt

P(t)=C*e^kt

Despejamos los valores:

180=C*e⁰

180=C*1

180=C

C=180                                               K=0.5                                    t=8 años.

Con esta fórmula P(t)=C*e^kt procedemos a graficar el crecimiento poblacional.

P(8)=180* e^(0.5)(8)

P(8)=180* e⁴

P(8)=180* (2.71828182846)⁴

P(8)=180*54.5981500332

P(8)= 9827.6670059

El resultado estimado de población a 8 años es de P(8)=9827.67

Conclusión:

P(t)=C*e^kt Mediante esta función podemos conocer el incremento de la población con respecto al tiempo, en este caso 8 años, pero este procedimiento es aplicable en un pronóstico o proyección de ventas y fabricación de productos.

  

Bibliografía:

JlLópez. (Noviembre 21, 2011). La ecuación diferencial de Malthus. Mayo 24, 2018, de S/N Sitio web: http://www.ugr.es/~jllopez/Clase19.pdf

Academatica. (Junio 07, 2012). Crecimiento Poblacional. (Aplicaciones Ecuaciones diferenciales de primer orden). Mayo 24, 2018, de Academatica Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=2nWSW3SA-no

Prepa en Línea. (2018). Contenido Extenso 2. Mayo 24, 2018, de Prepa en Línea Sitio web: http://148.247.220.227/mod/resource/view.php?id=25554

Módulo 18R3. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales.- Unidad II: La derivada en la explicación de los fenómenos naturales y procesos sociales.- Actividad Integradora V: Concentración de CO2 en una función.

Actividad integradora V

Concentración de CO2 en una función

Para realizar esta actividad es necesario que hayas revisado el tema 1, “Diferencial”, de la Unidad 2, ahí encontrarás los referentes teóricos que te permitirán realizar esta actividad.

¿Qué producto entregarás?

Un documento donde presentes el planteamiento, solución y respuesta argumentada a la pregunta planteada.

¿Qué hacer?

1.    Lee con detenimiento la siguiente situación:

El cambio climático es un fenómeno con efectos sobre el clima, está asociado a la intervención humana por la producción y acumulación de gases de efecto invernadero, como el CO₂, en la atmosfera.

El observatorio del volcán Mauna Loa, en Hawái, se dedica al monitoreo de la concentración de CO₂ sobre la superficie de los mares, teniendo un registro desde el año 1980 hasta 2015. Con base en un proceso estadístico, similar al que se revisó en el Módulo 17, fue posible establecer un modelo matemático que aproxima la concentración del CO₂, por año.

A continuación se muestra una gráfica de los datos obtenidos por este centro de monitoreo¹ del promedio anual de CO₂ sobre la superficie del mar, para más información puedes consultar la página del observatorio directamente.

Usando herramientas de Excel se ha generado un ajuste exponencial (en el Módulo 17 de Estadística se trabajaron ajustes lineales), dado por:

Para comprender mejor los elementos de esta función puedes apoyarte del video: https://www.youtube.com/watch?v=zcs6JXHZQtI

f(t)=337.09e^0.0047x

1.    Ahora analiza haciendo uso del modelo exponencial propuesto como la función que define la concentración de CO₂ y aplicando diferenciales. Luego debes aplicar y solucionar lo siguiente:

La gráfica de este ajuste se presenta en la siguiente figura:

Módulos que cursaras en Prepa en línea.

Módulo 18R3. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales.- Unidad I: El movimiento como razón de cambio y la derivada.- Actividad Integradora IV: Secante y tangente.

Módulo 18R3. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales.- Unidad I: El movimiento como razón de cambio y la derivada.- Actividad Integradora III: La derivada y su función.

1. Lee con atención la siguiente situación:

Supongamos que el costo de la producción en pesos de x toneladas de jitomate está dada por la siguiente función: c (x) = 5x² + 3x

Es decir, para producir 1,150 toneladas de jitomate se necesitan c (1,150) = 5 (1,150)² + 3(1,150) = 6,615,950 (seis millones seiscientos quince mil novecientos cincuenta pesos).

Si queremos saber cuánto se deberá pagar si se incrementa la producción a 30 toneladas más, hay que derivar la ecuación de la producción total y así obtener el costo del incremento de la producción. Para ello, se puede realizar el siguiente proceso:

a.            Se deriva la función del costo de producción:

c(x)= 5x²+3x

Se deriva ya que se incrementa la producción 30 toneladas más, la derivada queda así: dx=10x+3.    1150+30=1180 toneladas.

2. A partir de lo anterior, responde:

• ¿Cuánto deberá pagarse por aumentar a 30 toneladas la producción, es decir, por producir 1,180 toneladas de jitomate?

R: $6,627,753.00 pesos.

• En esta situación ¿para qué se aplicó la derivada de la función de producción total?

R: Se requiere derivar la función inicial ya que hubo un incremento de la producción con respecto al tiempo y por ese cambio se requiere hacer la derivada de la función para obtener el resultado de ese aumento en producción el cual se suma a las toneladas iniciales.

 

Conclusión:

La derivada nos indica que se presentó un cambio en el volumen de producción en función del tiempo de fabricación.

Módulo 18R3. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales.- Unidad I: El movimiento como razón de cambio y la derivada.- Actividad Integradora II: Límites.

Para realizar esta actividad, es necesario leer y comprender el Tema 2 (“Límites”) con el cuál analizarás un problema y organizarás las respuestas en el espacio correspondiente.

2. Tomando como base los procedimientos mencionados en el video, desarrolla en un documento de procesador de textos, la solución de las siguientes funciones:

Conclusión:

Se realiza el gráfico correspondiente y se generan 2 asíntotas que tiende al ∞ por lo que el resultado del lim es correcto.

Conclusión:

Se genera el gráfico y se logran graficar 2 asintotas que se van al ∞ por lo que el resultado del lim es correcto.

3. En el mismo archivo que elaboraste el procedimiento anterior, tabula y grafica con un rango para el eje x de -8 a 9, cada una de las siguientes funciones:

Conclusión:

No hay continuidad en la función por las variaciones que presenta, por tal razón el valor de lim=0.

Conclusión:

La función es creciente y siempre es positivo con valores (+) y no hay valores negativos en función logarítmica.

Módulo 18R3. Cálculo en fenómenos naturales y procesos sociales.- Unidad I: El movimiento como razón de cambio y la derivada.- Actividad Integradora I: Las funciones.

¿En qué punto, la bala alcanzo su altura máxima?

R: (-5, -45), parábola negativa.

Determina los puntos desde donde fue lanzada la bala, así como el punto de donde cayó.

R: Punto de lanzamiento (-12, 4), punto donde cayó es (2, 24).

Reflexiona y describe un ejemplo de la aplicación de este tipo de funciones en la vida cotidiana.

R: En la vida cotidiana este tipo de movimientos los podemos observar más claramente aplicadas a la física, en el tiro parabólico. En este caso es una parábola negativa ya que es un lanzamiento hacia abajo, puede ser lanzado el objeto de un edificio o azotea hacia abajo. El ejemplo claro es un clavado de una alberca y la trayectoria que hace un clavadista en el fondo de la alberca y como sale a la superficie (genera una parábola negativa).

b) En condiciones ideales, una colonia de bacterias se triplica cada tres horas, supóngase que hay a (Número Natural) cantidad de bacterias:

Obtén la función que modela el comportamiento de la colonia y justifica porque de esta elección.

Porque f(x)= 3a³  es la función dada 3 son las horas, a son las bacterias y 3 se triplifican a la tercera potencia.

¿Cuál es el tamaño de la población después de 12 horas?

R: f(x)= 12a³ considerando 100 bacterias. 12(100)³ = 12,000,000 millones en 12 horas.

¿Cuál es el tamaño de la población después de t horas?

R: f(x)=t(a)³  t=tiempo, (a)= bacterias y ³ se triplican.

Da un aproximado de la población después de 48 horas.

R: f(x)= 48a³ es igual a 48(100)³= 48,000,000 millones en 48 horas.

Propón un número de bacterias para replantear los incisos anteriores.

R: Se toman en cuenta 100 bacterias para ver comportamiento.

Reflexiona y describe un ejemplo de la aplicación de este tipo de funciones en la vida cotidiana.

R: Se considera un buen ejemplo para realizar un pronóstico para la proyección del comportamiento de datos de una empresa para ver cómo se comporta la producción o las ventas en función del tiempo y de esta manera proyectar las ganancias obtenidas, nos ayuda a realizar una adecuada planeación en una organización.

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